옵션의 가격 결정모형
가. 블랙-숄즈모형(Black-Scholes Model)
나. 이항모형
블랙과 숄즈는 1973년에 유명한 블랙숄즈 옵션가격 결정모형을 발표하여 커다란 반향을 불러 일으켰다. 그들은 복잡한 형태의 2차 편미분 방정식을 구성하고 그 방정식의 해를 구함으로서 무배당주식에 대한 유럽식 콜옵션의 가격공식을 산출하였다.
그 이후에 여러학자들이 블랙숄즈모형에 대한 연구를 거듭함으로써 여러 가지 재미있는 모형들이 계속등장하였다.
그 중에서 가장 간단한 형태의 옵션가격 결정모형이 이항(binomial)모형인데, 1978년 Cox, Ross, Rubinstein 등이 발표하였다.
이 모형은 초기와 만기가 존재하는 2기 모형으로서 옵션의 기초자산인 주식이 만기에 두 가지의 가격만을 가질 수 있다고 가정하여 옵션가격을 구하는 방법이다.
그러나 외견상으로 매우 간단한 이 모형은 실제적으로는 블랙과 숄즈가 이용했던 커버된 콜옵션전략(Covered Call Strategy)의 본질을 그대로 이용하고 있다는 면에서 매우 의미가 있는 모형이라고 볼 수 있다.
여기서 커버된 콜옵션전략이란 콜옵션을 매도하는 동시에 기초자산을 적정수만큼 매수함으로써 일종의 무위험 포지션을 창출하는 전략을 의미한다.
즉, 콜옵션매수는 기초자산 가격이 상승할 경우 이익을 보게 되므로 콜옵션매도와 기초자산 매수포지션이 결합될 경우 이는 중립적인 포지션이 된다.
실제로 많은 기관투자가들은 주식을 상당량 보유하고있는 경우가 많은데, 이 때 보유주식을 근거로 하여 콜옵션을 매도함으로써 커버된 콜옵션 전략을 실행하고 있다.
이 포지션은 기본적으로 콜옵션의 가격이 과대평가 되었을 때 이를 매도함으로써 차익을 획득할 수 있게 된다. 그러면 이항모형에 대해서 좀 더 자세히 살펴보기로 하자.
<그림 5-2>에서 보듯이 초기의 주식가격이 100이라 하고 만기에 가서 주식가격은 120또는 80이 될 수 있다고 하자. 이때 투자자 A가 커버된 콜옵션전략을 실행한다고 할 경우, 그는 콜옵션을 한 개 매도하는 동시에 주식을 a개 매도할 것이다. 여기서 그가 매도한 콜옵션의 행사가격은 100이고 프리미엄은 C라고 하자(우리의 목표는 C의 값을 구하는 것이다.)
만기에 가서 주식가격이 120이 될 경우 옵션을 매도한 투자자는 옵션행사 이익을 책임지게 되므로 120이 될 경우 옵션을 매도한 투자자는 옵션행사이익을 책임지게 되므로 120에서 행사가격 100을 뺀 20을 책임져야 한다. 반대로 주식가격이 80이 될 경우 쓸모가 없게 되고 투자자는 C만큼의 옵션프리미엄을 그대로 획득하게 된다. 그러면 투자자의 전체 포지션의 가치는 어떠한가?
투자자는 초기에 옵션을 팔면서 주식도 a개 매입하였다. 결국 만기에 가서 그의 포지션은 주식의 가격과 옵션행사에 따른 손익의 합에 의해 결정된다. 주식가격이 120일 경우 그의 전체 포지션의 가치는 주식 a개의 가치 120×a에서 옵션매도로 인한 손해20을 뺀 (120a-20)이 된다. 반면 주식가격이 80이 될 경우 A의 전체포지션의 가치는 주식의 가치80a가 된다. (옵션의 가치가 0이 되므로).
이제 여기서 아주 중요한 질문을 하나 던질 수 있다. 즉 커버된 콜옵션 전략을 통해 구축한 포지션의 가치가 주식가격이 오르든지 내리든지 상관이 없어지는 상황이 발생할 수 있는가? 가능하다면 어느 경우에 이러한 상황이 발생하는가? 답은 주식가격이 올랐을 때의 포지션 가치인(120a-20)이 주식가격이 떨어졌을 때의 포지션 가치인 80a와 동일해질 경우에 가능해진다. 결국 120a-20=80a, 즉 a가 0.5개의 50을 지불하여 사고 가격이 C인 옵션을 한 개 팔게 되고 이때 든 초기투자비용은 (50-C)가 된다. 1기 후인 만기에 가서 그의 포지션의 가치는 주식가격과 무관하게 120×0.5-20=80×0.5=40이 된다. 즉(50-C)의 초기투자가 1기 후에 확실한 수익 40을 내주는 것이다.
그렇다면, 확실한 무위험투자의 수익률은 이자율과 동일해져야 할 것이다. 왜냐하면 이자율은 무위험 투자에 대한 수익률을 의미하기 때문이다.
즉, (50-C)(1+r)=40 의 관계가 성립하여야 하는 것이다. 여기서 r을 1%라고 가정할 경우 (50-c)(1+0.01)=40이 되어 c는 10.4가 된다. 결국 주식가격과 이자율로부터 콜옵션이 가격이 유도되는 것이다.
여기서, 이 모형을 좀더 음미해 보면 중요한 사실을 발견할 수 있다. 옵션과 주식을 결합하여 채권포지션을 창출한 후 채권의 수익률인 이자율과 주식가격으로부터 거꾸로 옵션의 가격을 유도해 낸 것이다. 이러한 논리는 블랙과 숄즈가 그의 옵션가격결정모형을 유도할 때 이용한 방법을 그대로 이항모형에 적용한 것으로서 옵션가격의 결정과정을 이해하는 데에 매우 중요한 역할을 한다고 볼 수 있다.
Cox and Ross는 이러한 논리를 좀더 확장하여 옵션가격의 결정이론에 사용하였다. 즉 투자자의 위험에 대한 태도가 옵션가격결정에 전혀 상관이 없다면 모든 상황을 위험중립적이라고 가정하여 논리를 전개할 경우 여러 가지 편리한 점이 존재하게 된다. 즉 위험중립적 상황하에서 확률적 기대치는 곧 임의의 자산에 만기에서의 가치와 동일해지고 이 자산의 현재시점의 가격은 만기에서의 가치를 무위험수익률, 곧 이자율로 할인하여 구할 수 있게 된다.
일단 위험중립성을 가정하고 나면 만기에서의 옵션의 가치는 확률적 기대치와 동일해지고 이를 토대로 우리는 위험중립성하 에서의 확률분포를 다음과 같이 구할 수 있게 된다.
40 ×(1 + 0.02) = P ×45 + (1 -P) ×35
즉, 만기의 가격이 45 혹은 35가 되는 증권의 현재가격이 40이고 이자율이 2%라면 이는 거꾸로 가격이 상승할 확률이 58%, 하락할 확률이 42%라는 것을 의미한다고 해석될 수 있는 것이다. 따라서, 이처럼 유도한 위험중립적 확률분포를 토대로 옵션의 가격을 구하면, 옵션의 만기에서의 기대치는
P ×(5) + (1 - P) ×0
= 0.58 ×5 + 0.42 ×0 = 2.90
이 되고 2.90을 2% 무위험이자율로 할인하면 2.90/1.02=2.84가 된다. 이때 명심해야 할 것은 이러한 방식은 현재의 기초자산가격이 적정하다는 가정하에서의 이의 파생증권인 옵션의 가치를 구할 때 쓰는 방법이라는 점이다
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